SUBIECTUL I

(30 de puncte)

ArataNi ca numarul n = (

-1)2 + 2

5p

1.

5

5 este natural.

5p

DeterminaNi

valorile

reale

ale lui

m pentru care graficul funcNiei

f :R R,

f (x) = x2 + mx + 4

2.

intersecteaza axa Ox în doua puncte distincte.

5p

RezolvaNi în mulNimea numerelor reale ecuaNia log2 (2- x2 ) = log2 x.

3.

5p

4. CalculaNi probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulNimile mulNimii

A =

{

1,2,3,4,5,6,7 ,

}

aceasta sa aiba cel mult un element.

5p

Se considera

punctele

A, B i C

astfel încât AB = i + 6 j

i

BC = 4i + 6 j . DeterminaNi

lungimea

5.

segmentului [AC].

Se considera numerele reale a i b astfel încât a + b = p . ArataNi ca 2cosb = cosa +

5p

6.

3sina .

3

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

Se noteaza cu D(x, y) determinantul matricei A(x, y) =

x

1

2

1.

2

x

1

M3(R).

1

y

x

5p

a) CalculaNi

D(-1,2) .

5p

b) DeterminaNi numarul real q pentru care matricea A(2,q)

are rangul egal cu 2.

5p

c) ArataNi ca exista cel puNin o pereche (x, y) de numere reale, cu x y , pentru care D(x, y) = D(y,x) .

Se noteaza cu x ,x ,x

radacinile din C ale polinomului

f = X3 + X - m , unde m este un numar real.

2.

1

2

3

5p

a) DeterminaNi m astfel încât restul împarNirii polinomului

f (X )

la

X -1 sa fie egal cu 8.

5p

b) ArataNi ca numarul

x

2

+ x

2 + x 2 este întreg, pentru orice m R.

1

2

3

5p

c)

În cazul

m = 2

determinaNi patru numere întregi

a,b,c,d ,

cu

a > 0 , astfel

încât

polinomul

g = aX3 + bX 2 + cX + d sa aiba radacinile

1

,

1

,

1

.

x1

x2 x3

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1.

Se considera funcNia

f :R R, f (x) = ex - x .

5p

a) CalculaNi

f '(0) .

5p

b) ArataNi ca, pentru fiecare numar natural n = 2 , ecuaNia f (x) = n are exact o soluNie în intervalul (0,+8).

5p

c) Fie xn

unica soluNie din intervalul

(0,+8)

a ecuaNiei

f (x) = n, unde n este numar natural, n = 2 .

ArataNi ca

lim

x

= +8 .

n+8

n

Se considera funcNia

f :R R, f (x) = cosx

i se noteaza cu S suprafaNa plana delimitata de graficul

2.

funcNiei f, axa Ox i dreptele de ecuaNii

x = 0 i

x =

p

.

2

5p

a) CalculaNi aria suprafeNei S.

5p

b) CalculaNi volumul corpului obNinut prin rotaNia suprafeNei S în jurul axei Ox.

2p

2p

5p

c) DemonstraNi ca

f n(kx)dx = f n(x)dx , pentru orice numere naturale n,k =1.

Proba scrisa la matematica M_mate-info

Model

Filiera teoretica, profilul real, specializarea matematica-informatica

Filiera vocaNionala, profilul militar, specializarea matematica-informatica