SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1.

(

-1)2 + 2

= (5- 2

+1)+ 2

=

3p

5

5

5

5

= 6 N

2p

2.

f (x) = 0 are doua soluNii reale distincte

2p

= m2 -16 > 0

1p

m (-8,-4) (4,+8)

2p

3.

2- x2 = x

1p

x1 =1, x2 = -2

2p

x1 convine i x2 nu convine

2p

4.

p =

nr. cazurifavorabile

1p

nr. cazuriposibile

Numarul submulNimilor cu cel mult un element este egal cu C

0

+ C1

= 8 8 cazuri favorabile

2p

7

7

Numarul submulNimilor mulNimii A este 27 =128 128 de cazuri posibile

1p

p =

1

1p

16

5.

AC = AB + BC = 5i +12 j

3p

2p

AC = 52

+122 =13

6.

p

p

2p

b = - a cosb = cos

- a =

3

3

=

1

cosa +

3

sina , de unde concluzia

3p

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1.a)

-1

1

2

D(-1,2) =

2

-1

1

1

2

-1

1p

D(-1,2) = -1+1+ 8+ 2+ 2+ 2

3p

D(-1,2) =14

1p

b)

2

1

2

A(2,q) =

2

2

1

1p

1

q

2

Exista minorul d =

2

1

= 2 0 rang A(2,q) = 2

1p

2

2

rang A(2,q) = 2 D(2,q) = 0

1p

q = -

1

2p

2

Proba scrisa la matematica M_mate-info

Model

Barem de evaluare i de notare

Filiera teoretica, profilul real, specializarea matematica-informatica

Filiera vocaNionala, profilul militar, specializarea matematica-informatica

c)

D(x, y) = x3 + 4y - 4x - xy +1

1p

D(y,x) = y3 + 4x - 4y - yx +1

1p

D(x, y) = D(y,x) (x - y)(x2 + xy + y2 - 8) = 0 x2 + xy + y2 -8 = 0

2p

Finalizare: de exemplu (x, y) = (0,2 2)

1p

2.a)

f (1) = 2- m

2p

f (1) = 8

2p

Finalizare: m = -6

1p

b)

x1 + x2 + x3 = 0 i x1x2 + x2x3 + x3x1 =1

2p

2

2

2

=

(x1 + x2 + x3 )

2

- 2(x1x2

+ x2x3 + x3x1) = -2 Z

3p

x1

+ x2

+ x3

c)

x ,x ,x

radacinile polinomului

f = X3

+ X - 2 polinomul -2X3 + X 2 +1 are radacinile

1

2

3

1

,

1

,

1

2p

x1

x2

x3

a,b,c,d Z cu a > 0 g = 2X3 - X 2 + 0 X -1 are radacinile

1

,

1

,

1

2p

x1 x2 x3

1p

un exemplu este a = 2, b = -1, c = 0, d = -1

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1.a)

f '(x) = ex -1, pentru orice

x R

3p

f '(0) = 0

2p

b)

f (0) =1,

lim

f (x) = +8 i f este continua pe [0,+8) , deci ecuaNia data are cel puNin o soluNie

3p

x+8

f '(x) > 0

pentru orice x > 0 f este strict crescatoare pe [0,+8) f este injectiva pe [0,+8) ,

deci soluNia este unica

2p

c)

f (xn ) = n exn

= n + xn exn

> n pentru ca

xn > 0 , oricare ar fi n = 2

2p

xn > lnn lim

xn = +8

3p

n+8

2.a)

p

p

2

2

A = | f (x)|dx = cosxdx =

2p

0

0

p

3p

= sin x

2 =1

0

b)

p

p

2

2

1p

V = p f 2(x)dx = p cos2 xdx =

0

0

p

p

p

p

p

p 2

2

1

2

2

=

(1+ cos2x)dx =

x

+

sin2x

=

4p

2

0

2

2

4

0

0

c)

2p

1

2kp

t = kx f n(kx)dx =

cosntdt

2p

k

0

0

2kp

2p

4p

2kp

cosntdt = cosntdt + cosntdt +...+

cosntdt =

2p

0

0

2p

2(k-1)p

Proba scrisa la matematica M_mate-info

Model

Barem de evaluare i de notare

Filiera teoretica, profilul real, specializarea matematica-informatica

Filiera vocaNionala, profilul militar, specializarea matematica-informatica

2p

= k cosntdt , deoarece g

n

:R R, g

n

(x) = cosn x este periodica de perioada 2p , de unde

1p

0

concluzia

Proba scrisa la matematica M_mate-info

Model

Barem de evaluare i de notare

Filiera teoretica, profilul real, specializarea matematica-informatica

Filiera vocaNionala, profilul militar, specializarea matematica-informatica