SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p

RezolvaNi în mulNimea numerelor reale ecuaNia (3x + 2)2 = 4 .

1.

5p

DeterminaNi

numarul real

m

pentru

care vârful

parabolei

asociate funcNiei

f : R R,

2.

f (x) = -x2 + 3mx +1 are abscisa egala cu

3

.

2

5p

3.

RezolvaNi în mulNimea numerelor reale ecuaNia 32x = 9 .

5p

4.

CalculaNi 5C2 - A2 .

4

5

5p

5.

În

reperul

cartezian xOy se

considera

punctele A(-6,3)

i

B(2,5). DeterminaNi

coordonatele

mijlocului segmentului (AB) .

5p

CalculaNi lungimea diagonalei BD a rombului ABCD în care AB = 4 i m(∢ABC) = 120 .

6.

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

-1

2

x

2

-1

1.

Pentru fiecare numar real x se considera matricea A(x) =

x

i se noteaza determinantul

x

x

2

ei cu

(x).

5p

a) CalculaNi

(1).

5p

b) ArataNi ca

(x) = 6(x2 -1), pentru orice numar real

x.

5p

c) DeterminaNi inversa matricei A(0).

2.

În R[X ] se considera polinomul

f = X3 - X 2 + aX + b .

5p

a) CalculaNi a + b , tiind ca f (1) = 0 .

5p

b) Pentru a = -1i b =1, determinaNi radacinile polinomului

f .

5p

c) DeterminaNi numerele reale a i b , tiind ca x1 =1 i

x2 = 2 sunt radacini ale polinomului f .

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1.

Se considera funcNia f :(0,+ 8) R, f (x) = xln x .

5p

a) VerificaNi daca

f '(x) =1+ ln x, oricare ar fi

x (0,+ 8).

1

5p

b) ArataNi ca funcNia f este crescatoare pe

,

+ 8 .

e

5p

c) DemonstraNi ca

f (x) = -

1

, oricare ar fi

x (0,+8).

e

2.

Se considera funcNia f :(0,+ 8) R, f (x) =1+

1

+

1

.

x

x2

5p

b) CalculaNi e x f (x2 )dx .

1

a

1

3

5p

c) DeterminaNi numarul real

a >1, pentru care f (x) -

dx =

.

2

1

x