• SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1.

a2 - a1 = r r = -1

2p

a3 = 0

2p

Finalizare: produsul este egal cu 0

1p

2.

= 4+ 4m < 0

3p

m (-8,-1)

2p

3.

x

(

x -1 =12 x = -3 sau x = 4

3p

)

x = 4 convine, x = -3 nu convine

2p

4.

p =

nr.cazurifavorabile

1p

nr.cazuriposibile

2p

Numarul numerelor

abc

pentru care a b c = 3 este egal cu 3 3 cazuri favorabile

Numarul numerelor naturale de trei cifre este de 900 900 cazuri posibile

1p

p =

1

1p

300

5.

1

a

b

=

a

b

cos∢(a,b)= 2 3

3p

2

= 3

a

b

2p

6.

B(0,1) i C(3,1) BC Ox , deci

xH = xA =1, unde H este ortocentrul triunghiului

ABC

2p

yH -1

-2 = -1

BH AC m

BH

m

AC

= -1

2p

1

2

1p

yH = 2

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1.a)

Suma elementelor matricei A este egala cu 1+ (2n +1)+ n +1+ (2n2 +1)+ n2 +1=

3p

= 3n2 + 3n + 5

2p

b)

det A= n2 - n

{

2p

Finalizare: n N\

0,1

3p

}

c)

A =

1

1p

2

n2 + n - 6 = 0 n = 2 sau n = -3

3p

Finalizare: n = 2

1p

2.a)

2011 2012 = 2011+ 2012+1=

3p

= 4024

2p

b)

(x y) z = x + ay + az + 2 pentru orice

x, y,z R

2p

x (y z) = x + ay + a2z + a +1 pentru orice x, y,z R

2p

(x y) z = x (y z) pentru orice

x, y,z R a =1

1p

Proba scrisa la matematica M_t-nat

Model

Barem de evaluare i de notare

c)

2x = t t2 -t = 0

2p

Finalizare: x = 0

3p

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1.a)

lim

f (x) - f (2)

= f '(2)

2p

x 2

x - 2

f '(x)

= (x + ln x)' =1+

1

, pentru orice

x (0,+8)

2p

x

1p

Finalizare

b) y - f (1) = f '(1)(x -1)

2p

f (1) =1, f '(1) = 2

2p

EcuaNia tangentei este y = 2x -1

1p

c)

f ''(x) = -

1

, pentru orice x (0,+8)

2p

x2

2p

f "(x)< 0, pentru orice

x (0,+8)

1p

Finalizare

2.a)

1

1 -

1

f1(x)dx = (x +1)ex

ex dx =

2p

0

0

0

= ((x +1)ex

- ex )

1

3p

= e

0

b)

f2011 derivabila i

f2011' (x) = ((x + 2011)ex )' = ex + (x + 2011)ex = (x + 2012)ex , x R

3p

f

'

= f

2p

2012

2011

c)

(

x + n

)

e

x

=

(

x + n

)(

x +1 , pentru orice

x

[

*

1p

0,1 i n N

)

]

1

1

(x + n)ex dx = (x + n)(x +1)dx

1p

1

(

)(

x3

(

x2

1

9n + 5

x + n

x +1 dx =

+

n +1

+ nx

=

2p

3

2

6

0

0

1p

Finalizare

Proba scrisa la matematica M_t-nat

Model

Barem de evaluare i de notare

Filiera teoretica, profilul real, specializarea tiinNe ale naturii